News·2개월 전
베이즈 추론으로 확률 역설 해결하기 — 동전 두 개와 '왼쪽'의 모호함
Alice가 Bob에게 '왼쪽 동전이 앞면'이라고 말할 때, '왼쪽'이 누구 기준인지 모호하면 Bob은 1/2와 1/3 중 어느 확률을 답해야 할까요? 이 글은 베이즈 추론을 통해 이 역설을 해결합니다. 핵심은 Alice의 발화가 어떤 정보를 전달하는지에 따라 조건부 확률이 달라진다는 점입니다. '왼쪽'이 Alice 기준이면 1/2, Bob 기준이면 1/2이지만, 단순히 '하나가 앞면'이라는 정보만 주어지면 1/3이 됩니다.
동전 두 개를 던져 '왼쪽 동전이 앞면'이라는 정보를 받았을 때, 두 동전 모두 앞면일 확률은 1/2일까요 1/3일까요? '왼쪽'의 기준이 모호할 때 발생하는 역설을 베이즈 추론으로 풀어냅니다.
골자
- 문제 설정 — Alice가 두 동전을 던지고 Bob에게 '왼쪽 동전이 앞면'이라고 말합니다. 그런데 '왼쪽'이 Alice 기준인지 Bob 기준인지 모호합니다.
- 두 가지 추론 — Bob이 Alice 기준으로 해석하면 1/2, Bob 기준으로 해석해도 1/2입니다. 하지만 단순히 '하나가 앞면'이라는 정보만 있다면 1/3이 됩니다.
- 역설 — 같은 발언에서 두 가지 다른 확률이 나오는 것처럼 보이지만, 실제로는 정보의 내용이 다릅니다.
배경·맥락
- 이 문제는 고전적인 '두 자녀 역설'이나 '몬티 홀 문제'와 유사한 조건부 확률 역설입니다.
- 베이즈 추론 — Bob은 Alice의 발언이 어떤 가능성을 배제하는지에 따라 사후 확률을 계산해야 합니다.
해결
- 모호성 해소 — Alice가 '왼쪽'을 명확히 정의하지 않으면 Bob은 두 가지 가능성을 모두 고려해야 하지만, 실제로는 Alice의 기준을 알 수 없으므로 정보는 '하나가 앞면'과 같아집니다.
- 결론 — 따라서 Bob이 '왼쪽'의 기준을 모른다면, 정답은 1/3입니다. 만약 기준을 안다면 그에 따라 1/2이 됩니다.
편집자 한 줄
언어의 모호성이 확률 계산에 미치는 영향을 잘 보여주는 사례입니다. 실제 대화에서는 기준을 명확히 해야 합니다.
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